Vuorotteleva lukusarja: löydä kaksi piilotettua sääntöä

Vuorotteleva lukusarja ratkeaa usein jakamalla luvut kahteen ryhmään: ensimmäiseen, kolmanteen ja viidenteen lukuun sekä toiseen, neljänteen ja kuudenteen lukuun. Jos koko jono näyttää sekavalta eikä peräkkäisten lukujen välille löydy samaa muutosta, parittomat ja parilliset paikat voivat muodostaa omat säännölliset sarjansa. Tutki kumpaakin ryhmää erikseen, päättele niiden muutokset ja tarkista lopuksi, kumpaan ryhmään seuraava tyhjä kohta kuuluu. Tämä menetelmä auttaa ratkaisemaan tehtävän järjestelmällisesti ilman sattumanvaraista arvailua.

Mikä on vuorotteleva lukusarja?

Tavallisessa lukusarjassa sama sääntö voi toistua jokaisessa siirtymässä. Esimerkiksi sarjassa 5, 10, 15, 20 jokaiseen lukuun lisätään viisi. Vuorottelevassa lukusarjassa yksi sääntö ei välttämättä yhdistä vierekkäisiä lukuja, koska jonossa kulkee rinnakkain kaksi erillistä kehityskulkua.

Tarkastellaan sarjaa 3, 10, 6, 20, 9, 30. Kun vertaillaan vain vierekkäisiä lukuja, muutokset näyttävät poukkoilevan: ensin lisätään seitsemän, sitten vähennetään neljä ja seuraavaksi lisätään neljätoista. Tästä ei synny yksinkertaista toistuvaa sääntöä.

Kun luvut jaetaan sijainnin perusteella, rakenne selkiytyy:

• Parittomat paikat: 3, 6, 9. Jokaiseen lukuun lisätään kolme.
• Parilliset paikat: 10, 20, 30. Jokaiseen lukuun lisätään kymmenen.

Sarjan seuraava luku tulee seitsemännelle eli parittomalle paikalle. Se jatkaa siksi jonoa 3, 6, 9 ja on 12.

Milloin kannattaa epäillä kahta sääntöä?

Kahta rinnakkaista jonoa kannattaa etsiä vasta silloin, kun yksinkertaisempi selitys ei toimi. Ensimmäiseksi on järkevää tarkistaa, lisätäänkö, vähennetäänkö, kerrotaanko tai jaetaanko joka vaiheessa samalla tavalla. Jos muutokset eivät toistu, katso joka toista lukua.

Vuorotteleva rakenne voi näkyä esimerkiksi siinä, että suuret ja pienet luvut vaihtuvat säännöllisesti. Myös kahden selvästi erilaisen lukutyypin vaihtelu voi olla vihje. Sarjassa voi vuorotella esimerkiksi tasaisesti kasvava jono ja tasaisesti pienenevä jono.

Seuraavat merkit antavat aiheen kokeilla jakamista:

• Peräkkäisten lukujen erot vaihtelevat ilman selvää rytmiä.
• Joka toinen luku näyttää kasvavan tasaisesti.
• Suuret ja pienet luvut vuorottelevat.
• Sama laskutoimitus toimii ensimmäisestä luvusta kolmanteen ja kolmannesta viidenteen.
• Toinen sääntö löytyy toisesta, neljännestä ja kuudennesta luvusta.
• Kokonainen sarja näyttää sekavalta, mutta kaksi erillistä riviä ovat säännöllisiä.

Näin ratkaiset vuorottelevan lukusarjan

1. Numeroi lukujen paikat. Merkitse ensimmäinen luku paikalle 1, toinen paikalle 2 ja jatka samalla tavalla.
2. Kirjoita parittomat paikat omalle rivilleen. Ota mukaan paikkojen 1, 3, 5 ja 7 luvut.
3. Kirjoita parilliset paikat toiselle riville. Ota mukaan paikkojen 2, 4, 6 ja 8 luvut.
4. Tutki rivejä erikseen. Laske ensin lukujen erot ja tarkista sen jälkeen mahdollinen kertominen tai jakaminen.
5. Selvitä puuttuvan luvun paikka. Se kertoo, kumpaa kahdesta rivistä pitää jatkaa.
6. Tarkista koko ratkaisu. Varmista, että sama sääntö toimii jokaisessa kyseisen rivin siirtymässä.

Numeroiminen on tärkeää, sillä sanat parillinen ja pariton viittaavat tässä lukujen sijainteihin, eivät niiden arvoihin. Parittomalla paikalla voi aivan hyvin olla parillinen luku. Esimerkiksi sarjan ensimmäinen luku voi olla 8, vaikka ensimmäinen paikka on pariton.

Esimerkki kasvavasta ja pienenevästä jonosta

Ratkaistaan sarja 50, 2, 45, 4, 40, 6, ?. Vierekkäisten lukujen tarkastelu ei tarjoa luontevaa yhteistä sääntöä, joten luvut jaetaan paikkojen mukaan.

• Parittomat paikat: 50, 45, 40, ?. Jokaisessa vaiheessa vähennetään viisi.
• Parilliset paikat: 2, 4, 6. Jokaisessa vaiheessa lisätään kaksi.

Puuttuva luku sijaitsee seitsemännellä eli parittomalla paikalla. Se jatkaa ensimmäistä riviä, joten luvusta 40 vähennetään viisi. Oikea vastaus on 35.

Tässä tehtävässä vuorottelu näkyy myös silmämääräisesti: suurempi lukujono pienenee ja pienempi lukujono kasvaa. Tätä havaintoa voi käyttää vihjeenä, mutta lopullinen vastaus pitää aina tarkistaa laskemalla.

Vuorottelu voi sisältää myös kertomista

Kaikki kahden säännön tehtävät eivät perustu yhteen- ja vähennyslaskuun. Tarkastellaan sarjaa 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, ?. Ryhmittely paljastaa seuraavan rakenteen:

• Parittomat paikat: 2, 4, 8, 16. Edellinen luku kerrotaan kahdella.
• Parilliset paikat: 3, 6, 12, ?. Myös tässä edellinen luku kerrotaan kahdella.

Puuttuva luku on kahdeksannella eli parillisella paikalla. Se jatkaa sarjaa 3, 6, 12, joten vastaus on 24. Vaikka molemmilla riveillä käytetään tässä samaa laskutoimitusta, niiden lähtöluvut ovat erilaiset ja ne muodostavat kaksi rinnakkaista jonoa.

Vältä nämä tavalliset ratkaisuvirheet

Ensimmäinen yleinen virhe on yrittää väkisin selittää koko sarja yhdellä monimutkaisella kaavalla. Jos ratkaisu vaatii joka vaiheessa uuden poikkeuksen, kannattaa kokeilla yksinkertaisempaa kahden rivin mallia.

Toinen virhe on jatkaa väärää osajonoa. Vaikka molempien rivien säännöt olisi tunnistettu oikein, vastaus menee väärin, jos puuttuvan kohdan sijaintia ei tarkisteta. Merkitse siksi paikan numero ennen laskemista.

Kolmas virhe on hyväksyä sääntö yhden siirtymän perusteella. Kahden luvun välille voi keksiä monta mahdollista laskutoimitusta. Luotettavampi tulkinta syntyy, kun sama sääntö selittää vähintään kaksi peräkkäistä siirtymää samalla rivillä.

Myös kiire voi johtaa siihen, että pelaaja tarkastelee vain lukujen ulkoista vaihtelua. Nopeutta kannattaa tavoitella vasta sen jälkeen, kun paikkojen jakaminen ja säännön tarkistaminen onnistuvat varmasti.

Kokeile kahden rivin menetelmää pelissä

ÄlyPelien lukusarjojen ja numeropäättelyn perusteissa esitellään erilaisia tapoja, joilla lukujonon luvut voivat muuttua. Sivulta voi kerrata perusidean ennen varsinaista pelaamista.

Lukusarjapelissä voi valita viidestä vaikeustasosta sekä 20 tehtävän haasteen ja kestävyyspelin. Kun tehtävä näyttää sekavalta, kirjoita tai hahmottele joka toinen luku omalle rivilleen. Tarkista vasta sen jälkeen yhteenlasku, vähennyslasku, kertominen ja jakaminen.

Ensimmäisellä pelikerralla tavoitteeksi kannattaa valita sääntöjen tunnistaminen eikä mahdollisimman nopea vastaaminen. Jos ratkaisu menee väärin, kirjoita sarja kahdelle riville ja selvitä, missä vaiheessa oma tulkinta muuttui epäjohdonmukaiseksi.

Jos harjoitteluun on käytettävissä vain muutama minuutti, voit myös lukea, millainen selainpeli lyhyelle pelitauolle kannattaa valita.

Kaksi selkeää jonoa voi piiloutua yhteen sekavaan sarjaan

Vuorotteleva lukusarja näyttää vaikealta silloin, kun kaikkia lukuja tarkastellaan yhtenä jonona. Ratkaisu löytyy usein erottamalla parittomat ja parilliset paikat toisistaan, tutkimalla niiden säännöt ja jatkamalla oikeaa osajonoa.

Seuraavan tehtävän kohdalla numeroi ensin paikat ja kirjoita joka toinen luku omalle rivilleen. Tämä pieni muutos tekee monesta sekavalta näyttävästä numeropäättelytehtävästä huomattavasti helpommin tarkistettavan.